Cebir Nedir

Cebir Nedir

• Cebir, geometri gibi, matematiğin en eski dallarından biridir. Sayıların ve özellikle sayılarla gerçekleştirilen dört işlem kurallarının incelenmesiyle başlar. Günümüzde alanı gözle görünür biçimde genişleyen cebirin kapsamı içine artık, dört işleme (ya da «bileşim yasaları»na) benzeyen her şey girer. Söz konusu işlemlerse, sayı olmayan ya da sayılara çok az benzeyen öğelerle gerçekleştirilebilir. Cebir, günümüzde matematikte önemli bir yer tutar ve bütün bilgi alanlarında sayısız uygulamaları vardır.

HESAPTAN SANAL SAYILARA
• İ.Ö. yaklaşık 2 000 yıllarında Mısırlılar ve Babillilerin, doğal tamsayılar ve pozitif oransal sayılar üstüne eksiksiz hesap kuralları sistemi vardı. Ama bu kuralları, ancak gerçek sayıların yeraldığı işlemlerde kullanırlardı. Mısırlılar, işlemleri belirtmek için yalnızca simgelere başvururlardı. Dolayısıyle toplama, bir yönde yürüyen iki bacakla («JJ»), çıkarma ise, öteki yönde yürüyen iki bacakla («|LL») gös terilirdi.
• Thaies, Pythagoras (İ.Ö. VI yy.) ve Eukleides (İ.Ö. III. yy.) gibi Yunanlılar ise, simgelerden yararlanmıyorlardı. Bilinmeyeni bir simgeyle göstermek gerektiğinde, Diophantos (İ.S. III. yy.) ile önemli bir a – dım atıldı. Diophantos, işaretleme sisteminde bilinmeyeni Ç, ile, karesini Ar ile, küpünü KY ile gösterdi; toplamada simgeler yan yana konuyor, çıkartma ise T ile belirtiliyordu. Böylece,biçiminde yazılıyor ve şöyle okunuyordu: 2 bilinmeyen küp, eksi 8 bilinmeyen kare, artı 5 bilinmeyen, eksi 1. Bu işaretleme sistemiyle, bir denk-
lemde ancak bir bilinmeyene yer verilebilir. Bu işaretlemeler bize karmaşık görünse bile, denklemlerin çözümünde gelişmelere yolaçacaktı.
• Ortaçağ’da, Arapların Batılılar üstünde büyük etkisi oldu. «Cebir» sözcüğü de, a- rapçadan kaynaklanmaktadır. Gerçekten bu sözcük, bir eşitlikte eksi işaretli bir terimin, eşitliğin bir yanından öteki yanına artı işareti alarak geçişini belirten arapça el cebr sözcüğünden gelmektedir. Ortaçağ’da Araplar ve Batılılar, işlem ve denklemlerini bütünüyle harflerle yazarlardı; bu yazış biçimi, hesaplamayı güçleştirmekteydi. Avrupa’da bu zorluğun yenilerek cebirsel simgeciliğin kullanılması XV. yy’a raslar.
• Fransız matematikçisi Fran- çois Viete (1540-1603), işlemlerde yeralan bilinen ve bilinmeyen bütün büyüklükleri harflerle gösterdi; toplamayı + , çıkarmayı —, çarpmayı «in» ile, bölmeyi de bir kesir çizgisiyle belirtti. Bu, önemli bir gelişme sayılır; çünkü günümüzde, bütün sayılar için geçerli genel formüller yazılabilmektedir. Viete’ten sonra, matematikçiler işaretlemeyi (yazma biçimini) geliştirdi ve aşağı yukarı, Descartes (1596-1650) ile tanıdığımız biçimlere ulaşıldı. Söz konusu işaretleme, hesap kurallarını formüller halinde yazma ve bu kuralların incelenmesini geliştirme olanağı sağlar.
• Bu çalışmaların yanı sıra, «sayı» kavramı yüzyıllar boyunca genişledi. Yunanlılar, yalnızca pozitif tamsayılar ve pozitif oransal sayılar üstünde çalışıyordu. Daha sonra negatif sayılar, önce hesaplama sırasında ve kesin sonuç olarak düşünülmeksizin, a, b’den küçük olma koşuluyla a —b farkı biçiminde ortaya çıktı ve giderek göz önüne alınmaya başlandı. Hintliler, Ortaçağ’dan önce, negatif sayılar üstünde yapılabilecek yorumun (bir ticaret probleminde, sözgelimi bir borç) bilincindeydi. Hintlilerden bu bilgileri Batı’ya A- raplar ulaştırdı.
• Sayı kavramında bir başka genişleme XVI. yy’da gerçekleşti : Üç ve dört dereceli denklemleri çözmek ve genel bir çözüm yöntemi bulmak için, matematikçiler karmaşık sayıları kullandı.

CEBİRİN BUGÜNKÜ DURUMU
• Modern cebir anlayışı, Lagrange (1736-1813) ve Gauss (1777-1855) gibi matematikçilerin çalışmaları sonucunda XIX. yy’ın başında doğdu. Cebirin o sıralarda temel sorunu, denklemlerin çözümüydü. Lagrange’ın ax2 + bxy + cy2 biçimli ifadeler üstündeki çalışmaları, Gauss’u özel bir grup halini incelemeye yöneltti ve böylece daha genel kuramlara olanak sağlandı. Bir başka inceleme, gene Lagrange ve Gauss’un düşüncelerinden doğan ornatmaların (yerine koyma) incelenmesi, grup kavramının ortaya çıkmasına yolaçtı.
• Fransız matematikçi Evariste Galois (1811-1832), gruplar kuramının gerçek kurucusudur. Asıl amacı, özel denklemleri çözmek için hesaplar yapmak değil, bütün denklemler için geçerli genel bir yöntem bulmaktı; çünkü, ondan önceki matematikçiler birçok özel hale çözüm getirmişti. Böylece, hĞrhangi bir cebirsel denklemi çözme olanağının, o denklemin köklerinden doğan grubun özelliklerine dayandığım göstermeyi başardı. Dola- yısıyle cebirsel hesap, yerini
grupların genel incelemesine bıraktı.
• Aynı dönemde (1830-1850) İngiliz cebircileri, bileşim yasası kavramını ortaya koydular ve matematikçi Boole ile mantık cebiri, vektörler, karmaşık sayılar, matrisler, vb. her türlü yeni matematik varlıklara bu kavramı uygulayarak, cebirin alanını genişlettiler.
• Cebirin temel sorunu bu aşamaya kadar, denklemlerin çözümüydü. 1850’den sonra, cebirsel yapıların incelenmesine dönüştü. Gruplar kuramı, önce sonlu permütasyon gruplarının, sonra sonlu özel grupların ve ardından sonsuz grupların incelenmesi sonucunda gelişti. Öte yandan, modern cebirde, operatör grupları, halkalar, idealler, modüller, vektörel uzaylar gibi, grup kavramına benzer başka kavramlar geçerlik kazandı. O güne kadar bu kavramlara çok uzak görünen cebir ve matematik dalları, bunlarla doldu.
• Cebir, geçmişte, sayısız uygulamalara konu olmuştur. Günümüzdeyse daha soyut ve gerçekten daha uzak görünmektedir. Ama gereçleri daha genel olan cebir, fizikten dilbilime, ekonomiden biyolojiye kadar, bilginin çeşitli alanlarında sonsuz bir esneklikte uygulanabilir. Sözgelimi, maddenin temel taneciklerini incelemede kullanılan grup kavramından etnologlar, klanlara bölünmüş ilkel toplumlarda evlenme kurallarını incelemede yararlanır.

Advertisement

Yorum yazın