Türev Nedir

türev, matematikte, bir fonksiyonun bir değişkene göre değişme hızı.
Geometrik olarak türev, fonksiyona ilişkin eğrinin eğimi (daha doğrusu, eğrinin bir noktadaki teğetinin eğimi) olarak düşünülebilir. Türevin tanımı da bir doğrunun eğimini veren formüle dayandırılır; eğrinin bir noktadaki eğimi söz konusu olduğunda limit(*) kavramından da yararlanılması gerekir. Bir doğrunun eğimini veren formül (yı —^oVi^cı —Jfo) biçimindedir; x\—xo için h, y için de f(x) simgeleri kullanılırsa formül \f(xo+h)—f(xo)]/h biçimini alır (bak. grafik

1). Bir eğri için bu oranın değeri, eğri üzerinde alınan noktaların yerine göre değişir; bu da eğrinin eğiminin noktadan noktaya değiştiği anlamına gelir. Bir noktadaki

eğimi bulurken ikinci nokta birinciden uzakta seçilirse bulunacak oran bu noktalardaki eğimleri değil, bunların bir ortalamasını verir (bak. grafik 2). Bu nedenle, ikinci nokta (dolayısıyla, h değeri) değişken bir nokta olarak seçilir ve ikinci nokta birinciye yaklaştırılırken (bir başka deyişle h değeri

sıfıra giderken) oranın alacağı limit değer, eğrinin (birinci noktadaki) eğimi olarak anılır.

Değişken h değeri sıfıra giderken \f(xo+h)-f(xo)]/h oranının alacağı limit değeri belirleyebilmek için, bu oranı uygun bir biçime sokmak gerekir. Örneğin, ^fonksiyonunun x=2 için türevini veren oran [(2+h)2-22]lh biçimindedir; payda yer alan ifade açılırsa (4+4h+h2—4)/h=(4h+h2)lh elde edilir. Burada, h sıfıra giderken hem pay, hem de payda sıfıra gitmektedir; h çok küçük olmakla birlikte tam sıfıra eşit değildir, bu nedenle pay ve payda h ile bölünebilir ve 4+h elde edilir, buradan da oranın değerinin h sıfıra giderken 4’e gittiği bulunur.
Özetlemek gerekirse, bir f(x) fonksiyonunun x=xo için türevi,

hm \f(xo+h)-f(xo)]/h

(r-0

olarak tanımlanır; tanım, bu limitin var olması koşuluyla geçerlidir. Bir f(x) fonksiyonunun x=xo için türevi, f(xo), Df(xo) ya da (df/dx)(xo) simgelerinden biriyle gösterilir.

Bir fonksiyonun türevini hesaplama işlemine türev alma denir. Türev alma işleminde yukanda verilen türev tanımı hemen hemen hiç kullanılmaz. Üç temel fonksiyonun türevi ve dört temel kuraldan yararlanılarak ve cebirsel işlemler aracılığıyla her fonksiyonun türevini hesaplamak olanaklıdır. Üç temel türev şunlardır: 1) Cebirsel fonksiyonlar için D(x’,)=njr”‘l|(burada n herhangi bir gerçek sayıdır), 2) trigonometrik fonksiyonlar için £>(sin jt)=cos x, 3) üstel fonksiyonlar için D(e*)=e‘.

Bu üç fonksiyon türündeki fonksiyonları içeren herhangi bir fonksiyonun türevi aşağıdaki dört kuraldan yararlanılarak bulunabilir; burada f(x) ve g(x) türevleri bilinen herhangi iki fonksiyonu göstermektedir: 1) D(af+bg)=aDf+bDg toplam kuralı; 2) D(fg)=fDg+gDf çarpım kuralı; 3) D(flg) =(gDf-fDg)/g2 bölme kuralı.

Zincir kuralı olarak bilinen dördüncü kuraldan, bileşke fonksiyonlarının türevini almakta yararlanılır; f(x) ve g(x) iki fonksiyon olmak üzere f(g(x)) bileşke fonksiyonu, x değeri için önce g(x) değeri bulunup, bu değerin fonksiyonu olarak / fonksiyonunun hesaplanması yoluyla bulunur (bileşke fonksiyonu yerine kimi zaman “fonksiyon fonksiyonu” terimi de kullanılır). Örneğin /(;t)=sin x ve g(x) = x2 ise g(f(x))=(sin x)2 ve /(g(jc))=sin x2 olur. Zincir kuralı, bir bileşke fonksiyonun türevini veren şu kuraldır: D(f(g(x)))=Df(g(x))- Dg(x). |Burada Df(g(x)) ifadesi, önce Df(x) fonksiyonunun türevinin bilinen yöntemlerle alınacağını, sonra bu türev ifadesinde yer alan bütün x lerin yerine g(Ac) konulacağını gösterir. Örnek olarak, sin x2 bileşke fonksiyonun türevi bu kural uygulanarak, D(sin;r)=Z)sin(;r) ■ D(jr)=(cos X2)- 2x olarak bulunur.

Advertisement

Etiketler: ,

Yorum yazın